E Introducción ste libro es en parte un diccionario, en parte una recopilación de ensayos matemáticos cortos y en parte las reflexiones de un matemático. A pesar de contener muchas entradas (ensayos breves) ordenadas alfabéticamente que describen una amplia gama de temas matemáticos, lo que le distingue de un diccionario es que las entradas son menos globales, más largas y, en muchos casos, muy poco convencionales. Por necesidad, el libro contiene más información que la mayoría de recopilaciones de ensayos. Sin embargo, he intentado mantener el tono personal y unificador típico de éstas. En otras palabras, este libro ha sido escrito por un individuo con sus intereses concretos (no todos matemáticos), sus predisposiciones (las matemáticas como arte liberal y no sólo como herramienta técnica) y sus estrategias pedagógicas (como el empleo de cuentos y aplicaciones poco usuales). Aunque el tema no sea yo, sino las matemáticas, no he hecho ningún esfuerzo por no aparecer en el cuadro, con la esperanza de servir de guía personal al lector a través de un tema que amedrenta a muchos. El público al que me dirijo es inteligente y culto, pero generalmente anumérico (matemáticamente analfabeto). He recibido una cantidad sorprendente de cartas de lectores de mi anterior libro, El hombre anumérico [1] en las que me manifiestan que éste ha estimulado su interés por las matemáticas y que ahora quieren algo más para satisfacer su recién despertado apetito por el tema —algo del mismo estilo, pero que vaya más allá del simple numerismo—. Cito un tanto impúdicamente de la carta de una lectora: «Quizá suene anumérico, pero me gustaría que escribiera otro libro que fuera exactamente igual, sólo que distinto, algo que avanzara un poco más». Espero que este libro le resulte atractivo y útil, y, al mismo tiempo, consiga ofrecer a sus lectores una imagen no técnica, sin dejar de ser riguroso, de la matemática y su relación con el mundo que nos rodea. Hay muchísimas personas que aprecian la belleza y la importancia de las matemáticas, pero que, como no pueden volver a la universidad, no ven la manera de profundizar en este interés. Algo les ha llevado a creer que sin ningún conocimiento de los formalismos, teoremas y manipulaciones simbólicas, las ideas matemáticas están por completo fuera de su alcance. Creo que esto es falso y, lo que es peor, totalmente pernicioso. Se puede aprender de Montaigne, Flaubert y Camus sin saber leer en francés, y del mismo modo se puede aprender de Euler, Gauss y Gödel sin resolver ecuaciones diferenciales. Lo que hace falta en ambos casos es un traductor que maneje bien ambos idiomas. Como aspirante a esa especie de traductor, he procurado evitar, en la medida de lo posible, ecuaciones, tablas y diagramas complicados, así como símbolos formales. Incluyo unas cuantas ilustraciones y hago breves menciones de algunas notaciones matemáticas corrientes, porque resultan a veces indispensables y son especialmente útiles si se consultan otros libros. Sin embargo, la mayor parte de lo expuesto se hace con palabras, y en nuestra lengua de comunicación. Las entradas van desde los resúmenes de disciplinas enteras (cálculo, trigonometría, topología) a notas biográficas e históricas (Gödel, Pitágoras, geometría no euclídea), pasando por fragmentos de folklore matemático o cuasimatemático (conjuntos infinitos, poliedros regulares, QED) muy conocidos por los matemáticos pero no por los profanos, aunque sean personas cultas. He incluido de vez en cuando fragmentos menos convencionales: la reseña de un libro inexistente, un «fluir matemático de conciencia» durante un viaje en coche y breves discusiones sobre humor o ética. Se han tratado temas nuevos (el caos y los fractales, la iteración, la complejidad) y también otros más clásicos (las secciones cónicas, la inducción matemática, los números primos). Soy totalmente culpable de cometer flagrantes «errores de categoría» a lo largo de toda la obra: al incluir como entradas temas matemáticos, principios pedagógicos, pequeñas homilías y anécdotas, como si todo ello estuviera coordinado. No pido disculpas por ello, pues estas discusiones tan dispares ilustran un hecho que a menudo se pasa por alto: que la matemática es una empresa humana con muchos estratos, y no simplemente un conjunto de teoremas y cálculos formales. Escribir artículos matemáticos no es lo mismo que escribir sobre la matemática, pero pienso que no tendría por qué haber un abismo tan grande entre ambas actividades (a menudo he soñado con anunciar la solución de un problema famoso en un libro de divulgación en vez de en una revista especializada tradicional). En lo que respecta a la precisión de las diversas entradas, he intentado seguir un rumbo difícil de mantener: escribir con la precisión suficiente para evitar el desdén académico (el desinterés académico por este tipo de obras de divulgación es inevitable) y, sin embargo, con la claridad suficiente para evitar que los lectores se formen conceptos falsos.

Cuando la claridad y la precisión están en conflicto, como ocurre a veces, he optado la mayoría de las veces por la primera. Una idea errónea muy extendida es que la matemática es completamente jerárquica: primero la aritmética, luego el álgebra, después el cálculo, a continuación más abstracción y luego lo que sea. (¿Qué viene después del cálculo superior? Respuesta: una parálisis grave). Esta creencia en la condición de poste totémico de la matemática es falsa, pero lo peor es que impide que muchas personas que pasaron apuros para aprobar las matemáticas en la enseñanza básica, en la escuela secundaria o incluso en la universidad tomen un libro de divulgación sobre el tema. A menudo, ideas matemáticas muy «avanzadas» son más intuitivas y comprensibles que ciertos temas de álgebra elemental. Mi lema es: si te quedas atascado y no entiendes algo, sigue adelante y probablemente la niebla se levantará, a menudo antes de acabar el artículo. Para acabar, recuerdo a las personas que he conocido que, teniéndose por anuméricas, se han sorprendido al comprobar su intuición matemática. Al tener una idea calculística tradicional de la matemática, esas personas suelen caracterizar sus comentarios perspicaces como lógica o sentido común, nunca como matemática; me recuerdan al burgués de Molière que se sorprendió al descubrir que llevaba toda la vida hablando en prosa. Este libro está pues escrito para los matematófilos que no saben que lo son (entre otros), que toda la vida han pensado matemáticamente sin haberlo notado. Las entradas son generalmente independientes y a veces se cruzan referencias. A Al estilo matemático unque casi todo el mundo reconoce la importancia práctica de estudiar matemáticas, relativamente pocos aceptarán que la matemática de la vida cotidiana pueda ser un tema atractivo para la reflexión ociosa. Sin embargo, la matemática proporciona un modo de entender el mundo, y el hecho de desarrollar una conciencia o una perspectiva matemática puede ayudarnos en nuestro comportamiento cotidiano. En vez de razonar esto último lo ilustraré con una anécdota. Recientemente tuve que desplazarme a Nueva York con una cierta urgencia y llevaba un poco de prisa. Mientras guardaba cola para llegar al peaje iban creciendo en mí los pensamientos asesinos habituales cuando me di cuenta de que el conductor del primer coche de mi fila estaba dejando que otros coches de la fila de su derecha, que estaba muy llena, le (y me) adelantaran. Había un semáforo en el cruce, por tanto no hacía falta dar esas muestras de filantropía, y el aspirante a samaritano debería haber considerado que su buena acción suponía también un perjuicio a los conductores que estaban detrás de él. En este caso, la integral matemática o suma de estos inconvenientes era mayor. Aunque no se trate, ni mucho menos, de una reflexión profunda, este «cálculo» y otros similares parecen totalmente ajenos a muchas personas. Al llegar por fin a la autopista, aceleré rápidamente hasta alcanzar una velocidad media de unos 110 kilómetros por hora, reduciendo hasta los 80 sólo cuando aparecía algún coche patrulla. A pesar de mi carrera, la necedad de este juego parecía ese día especialmente clara y me pregunté cómo nunca nadie había puesto en práctica una idea tan simple como la siguiente para reprimir el exceso de velocidad en las autopistas de peaje: cuando alguien entra en una de esas vías recoge un billete con la hora de entrada impresa. Como se conoce la distancia entre los distintos puestos de peaje, cuando el ordenador imprime la hora de salida se puede calcular fácilmente la velocidad media de dicha persona durante el trayecto. El encargado del peaje podría entonces enviar a los conductores con billetes incriminadores a un coche patrulla estacionado allí mismo. Este método no acabaría con todos los excesos de velocidad, naturalmente, pues uno podría conducir muy aprisa hasta exactamente antes de la salida, detenerse y tomar una taza de café o hacer una comida completa si hubiera corrido de verdad, y salir con una velocidad media legal. Sin embargo, el aliciente primario del exceso de velocidad se habría eliminado. ¿Qué tiene de malo este plan? Dividir un número por otro, la distancia recorrida por el tiempo empleado, no es seguramente una técnica arriesgada ni novedosa.

En la actualidad se ponen multas por exceso de velocidad basándose en el radar, que es mucho menos fiable. Puse la radio para escapar de estos pensamientos y me acordé de cómo me gustaría, aunque sólo fuera una vez, oír una pieza de rock que usara la palabra doesn’t en vez de don’t, como en She don’t love me anymore («Ella no me quiere») o como la que estaban tocando entonces, It don’t matter anyway. («De todos modos no importa»). [2] Tal vez por el relativo entumecimiento sensorial de conducir, se me pegó esta triste letra. Quizá no importaba a pesar de todo y, si así fuera, me pregunté si importaría que no importara. Si nada importaba y tampoco importaba que nada importara, entonces ¿por qué no iterar? No importaba que no importara que nada importara. Y así sucesivamente. Inhalé los vapores del peaje de Nueva Jersey y volví a considerar la situación. Si nada importaba, pero importaba que nada importara, entonces estaríamos en una situación más bien desalentadora. Si nada importaba y tampoco importaba que nada importara, entonces tendríamos la posibilidad de algo mejor —un enfoque irónico y posiblemente feliz de la vida—. Y análogamente a niveles superiores. Razonando formalmente y en un modo probablemente simple, la mejor situación sería que las cosas importaran al nivel elemental o, si no, que no importaran a ningún nivel: o la ingenuidad total de la infancia o la completa ironía del adulto. (Véase la entrada sobre Tiempo). Mientras me aproximaba a la refinería Hess, mis pensamientos pasaron al tema de escribir y publicar, pero mi predisposición hacia el absurdo persistía. Dada la numerosa, y cada vez más homogénea, población lectora ¿había hoy menos «necesidad» de autores? Suponiendo que la gente lea hoy aproximadamente el mismo número de libros, revistas y diarios que en cualquier otra época, y que quieran leer siempre algo «mejor» que cualquier otra cosa que ya hayan leído (según el patrón de las listas de éxitos, por ejemplo), y que tiendan en general a leer cosas escritas por sus paisanos, parece deducirse que cuanto mayor sea un país, menor es el porcentaje de sus ciudadanos que puedan ser autores o, lo que algún día podría ser equivalente, autores de éxito. Pensé en varios contraejemplos, el más interesante de los cuales apuntaba a la gran variedad de publicaciones (especialmente de libros y revistas no novelescos) que atienden a gustos cada vez más especializados y que proporcionan mayores oportunidades a los escritores. Si estas vagas reflexiones tenían algún sentido, la probabilidad de alcanzar el estrellato literario se reducía, mientras que aumentaban las oportunidades de ganarse la vida con un procesador de textos.

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